Свойства функций, имеющих предел в точке

Пусть $\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B$, тогда: - $\lim_{x \to a} (f(x) *+- g(x)) = A *+-B$ - $B \neq 0 \Rightarrow \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$

По Гейне: $$\forall{\{x_{n}\} \subset X \setminus \{a\}}\mathpunct{:}~~ x_{n} \to a \Rightarrow f(x_{n}) \to A \land g(x_{n}) \to B$$ По теореме о сумме пределов последовательностей: $$\lim_{n \to \infty} (f(x_{n})+g(x_{n})) = A+B \Rightarrow \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A+B ~~~\square$$

Если $\exists{\lim_{x \to a} f(x) = A}$, то $\exists{O(a)}$ такая, что $f(x)$ ограничена на $\dot{O}(a) \cap X$

(По Коши) Пусть $\varepsilon = 1$, тогда $\exists{\delta}~~ \forall{x}~~ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x) - A| < 1$, а значит $|f(x)| < |A| + 1~~~\square$

Пусть $\lim_{x \to a} f(x) = A \neq 0$, тогда: $$\exists{O(a)}\mathpunct{:}~~ \forall{x \in \dot{O}(a) \cap X}\mathpunct{:}~~ |f(x)| > \dfrac{|A|}{2}$$ Если $A > 0$, то $f(x) > \dfrac{A}{2}$ Если $A < 0$, то $f(x) < \dfrac{A}{2}$

(По Коши) Пусть $\varepsilon = \dfrac{|A|}{2}$, тогда: $$\begin{align} \forall{x \in \dot{O}(a)}\mathpunct{:}~~ &|f(x) - A| < \dfrac{|A|}{2} \\ |A| - \dfrac{|A|}{2} < ~&|f(x)| < |A| + \dfrac{|A|}{2} \\ \dfrac{|A|}{2} < ~&|f(x)| ~~~~~~~~~~~~\square \end{align}$$

Если: 1. $f(x) \leq g(x)$ 2. $\lim_{x \to a} f(x) = A$, $\lim_{x \to a} g(x) = B$ То: $A \leq B$

(По Гейне) $f(x_{n}) \leq g(x_{n})$, а значит по теореме о переходе к пределу в неравенстве для последовательностей: $$A = \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) \leq \lim_{n \to \infty} g(x_{n}) = B ~~~\square$$

Если: 1. $\forall{x \in \dot{O}(a)}\mathpunct{:}~~ f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ 2. $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = A$ То: $\lim_{x \to a} h(x) = A$

(По Гейне) $\forall{\{x_{n}\} \in X \setminus \{a\}}~~ x_{n} \to a$, а значит $f(x_{n}) \leq h(x_{n}) \leq g(x_{n})$, а значит по лемме для последовательностей: $$h(x_{n}) \to A \implies h(x) \to A ~~~\square$$